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  為什麼公車一次來三班?
  相信大部分的人都有過搭公車的經驗,都會覺得怎麼那麼久還沒來,每次都要等好久,不然就是一次來個好幾班,無論數學能力如何,透過這本書都會改變對我們對周遭世界的看法。生活中,每一個小地方都有數學,只是還沒發現而已,就像這本書所說的「人類沒有發明數學,我們只是發現數學」。

.作者:羅勃‧伊斯威、傑瑞米‧溫德漢
.譯者:蔡承志
.分類:科普
.出版社:臉譜出版
.出版日期:2014/10/02
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文章節錄
《為什麼公車一次來三班?:生活中隱藏的81個數學謎題》

錯過公車有可能是好事

  所有人都知道,每次想搭公車時都要等上天長地久,接著一來就是三班。這是常見的都市之謎,而且至少頻繁得可以用來當作書名。不過,數學家也確實會認為是個謎團。因為通常公車並不是一來就三班,而是兩兩出現。

  不過,眼前就暫時假定,公車的確一來就是三班。如果這是事實的話,那麼通勤乘客的惡夢根本就不是惡夢。

  或許你每次有重要約會的時候也都很倒楣,老是要錯過公車。或許你會想像,錯過公車絕對不會是好事。不過,倘若公車都是成三出現,那麼恰好錯過一班公車,或許你還可以預期會更快抵達目的地。

  怎麼會這樣呢?錯過公車怎麼可能反而是好事?

  我們鑽研公車現象之前,要先設計一種所謂的數學模式,也就是用虛構數字來簡化真實情況。只要假定合理,就能用模式來驗證構想,看出事情的脈絡。

  假定公車總站每15分鐘發一班車。結果等到公車抵達你的候車亭,卻全都是三班集結為一群。為方便討論,就假設一群內各班公車的間隔都只有1分鐘。

  既然這三班公車都是在某個45分鐘時段內由總站出發,那麼兩群公車的間隔時段就必然是43分鐘。

  集結之前:15分鐘―15分鐘―15分鐘
  集結之後:1分鐘―1分鐘―43分鐘

  現在假定你剛好看到一班公車離開你的候車亭。你並不知道那班車是一群公車中的哪一班。有可能是第一班,也可能是中間或最後一班,機會均等。倘若那是第一或第二班,那麼你只需要等1分鐘,就可以等到下一班。然而,倘若那是第三班,那麼你就要等43分鐘。

  這就表示,你等到下一班車的平均時段長度為:

  1分鐘+1分鐘+43分鐘/3=15分鐘

  不過,倘若當你來到候車亭之時,並沒有看到公車呢?換句話說,倘若你並不是恰好錯過公車,那又會如何呢?這就表示,你是在公車兩種間隔之一的時段間抵達。或許你剛好逮到1分鐘間隔時段。不過,你也有43/45的機會是碰上較長間隔。而且你抵達的時間,還可能是位於長間隔時段之間的任何時刻。你或許要從43分鐘的起點開始等起,也或許是從終點開始,那麼下班公車就要到站。因此,這時你的平均候車時間就是(43+0)/2=21.5分鐘。若是你抵達候車亭之時,並沒有看到公車離站,而且我們還把你在1分鐘間隔時段抵達的微小機會也納入,並略做調整,那麼你等車的時間還是要更長,超過看到公車離站的狀況。若你沒有看到公車離站,平均就要多等5分多鐘。

  那就是為什麼,恰好錯過公車有可能會讓你更快完成整段旅程。

  然而,這種怪異的結果有個先決條件,那就是公車確實會每三班集結。不過,下面的「知識補給站」可以證明,公車比較可能兩兩聚集,卻較少成三集結。倘若公車是兩兩集結,那麼結果是就算你恰好錯過公車,也不會影響候車時間長度。

  倘若公車完全不集結成群,這時若乘客錯過公車,情況就最糟糕了。這時錯過公車絕對就要等15分鐘,而這時若是沒有看到公車,就表示平均要候車7.5分鐘。不過,倘若你看到公車離開,至少你就知道今天他們還在營運……

知識補給站:公車真的一來就是三班嗎?

  車班集結成群絕對不是公車公司無能所造成的。這種集結現象純粹是生活中的現實。就算總站每15分鐘準時發車,乘客來到候車亭的時間卻不是那麼精確。絕大多數乘客都是隨機抵達。很可能在公車路線某點上,會突然有大批乘客抵達,當然搭車上下時也要刷卡投幣。這種行為會讓公車慢下來,也因此到了下一站時,就會需要搭載更多旅客。

  這樣一來,下一班公車就會愈來愈接近前一班。況且,由於在兩班車的間隔期間抵達的乘客人數也要減少,於是第二班公車要搭載的乘客還要更少。因此第二班公車還會行進得更快。這時兩班公車就會陷入一種惡性循環,所以第二班車就幾乎肯定會趕上第一班,結果這兩班車就會雙雙完成旅程。這就是為什麼公車常會兩兩成群。

  公車行進的路線愈長,就愈可能和另一班車集結成群。果真有三班公車聚集並列,也比較可能是在接近漫長行程的終點時出現。這種現象也比較常見於班車相距很近的狀況,換句話說,就是車班較為密集的公車路線。這還真是諷刺,「最好」的公車路線卻變成最會集結成群,也最容易引來罵名的路線。
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