數學的祕密生命

發稿時間:2011/06/11
數學的祕密生命
數學的祕密生命
作者|喬治.史皮婁 George G. Szpiro
譯者|郭婷瑋
出版社|臉譜
出版日期|2011/05/27

  每一個人都在學校學過數學,卻很少將數學與生活連結,《數學的祕密生命》一書集結報紙專欄五十篇,深入淺出地介紹數學背後引人入勝的趣聞軼事,包括近期獲得解答的數學謎題、科學期刊登出的數學研究,以及教你數學可以用來計算愛情等生活中處處可應用的數學原理,相當具深度,卻也有實用性。

  書中指出,依據「柏拉斯悖論」,在一網絡新增一連結點,希望提高效率,實際可能不增反減。例如高速公路國道塞車,平行的省道順暢,開一條路連結國道與省道,塞在國道的車子轉進省道,是否一定改善交通?理論正確,但非絕對,假設某一數量的車子改走省道,剛好超過省道負荷,國道車子又未減量到可暢通,反而兩條路都塞,台灣近年連續假日時依據前一次車流量規畫的數學紓解方案就專業多了。

  同樣的邏輯還可運用到服務業,例如大賣場排隊結帳該如何排法最有效率?數學家建議賣場結帳櫃台全開時,把所有人排在一個通道上,那一個櫃台有空,消費者就過去結帳,正是數學計算法的運用,事實上,各銀行的服務早已運用這一數學原理,消費者先領號碼牌再等電腦叫號到有空的櫃台,大家都不會浪費太多時間。

  作者喬治‧史皮婁獲有數學、管理雙碩士和數學經濟學博士,曾任教多所大學,後來由數學家轉行記者,擔任瑞士報紙《新蘇黎世報》以色列特派員約二十年,這本書集結他為報紙專欄撰寫的形形色色、深具洞察且往往令人驚奇的數學故事,就是為了提醒人們活用數學,絕對有助於解決生活上的許多難題,

文章節錄

《數學的祕密生命:數學家與數學大鬥智的有趣故事,課本裡沒有教的50個數學大發現 A Mathematical Medley: Fifty Easy Pieces on Mathematics》

用數學計算愛情

  應該買什麼禮物給心愛的人?這個聽起來很浪漫的問題,其實不過是簡單的決策問題,用枯燥乏味的數學就可以解決。科學家發現利用賽局理論和數學模型,可以找出最佳送禮策略。

  有個年輕人左右為難。他應該買什麼禮物給心愛的人?他要如何向她證明自己對這段感情很認真?愛炫耀的有錢人會試圖選擇昂貴的禮物來贏得芳心,例如鑽石項鍊。小氣鬼只會送個訂做的首飾。圓滑的花花公子選擇最浮誇不實用的,如一盆蘭花或大都會歌劇院首演門票。這個聽起來很浪漫的問題,其實不過是簡單的決策問題,用枯燥乏味的數學就可以解決。

  倫敦大學學院的索舟(Peter Sozou)和西摩(Robert Seymour)研究的正是這個問題。他們利用賽局理論和數學模型找出最佳送禮策略。2005年,他們在《英國皇家學會會報》發表這項研究。

  索舟和西摩建立的模型是根據一系列約會決策所做的求愛遊戲。男性送給女性的禮物類型,是他的身分地位的象徵。這個遊戲從男性選擇禮物開始。他送給女士什麼樣的禮物,昂貴的、浮誇的或廉價的,取決於他覺得這位女士有多迷人。一旦男士送了禮物,女士必須決定是否接受,並且與他單獨見面談情說愛。接下來,球又到了男方手中。現在他必須決定是否與這位女士交往,或者是否放棄且另尋更適合的對象。

  雙方都必須小心謹慎。一方面,女士無法馬上看到禮物的價值。只有收下禮物之後,她才能判定它的價值。另一方面,鑽戒很容易變現,這會讓男性立刻遲疑。雙方都必須根據賽局理論和機率,依對方的可能意圖來自我調整。男士自問那位女士是否真的喜歡他,還是只對禮物感興趣。女士想知道這位追求者是否考慮認真投入感情,還是只是短暫邂逅。

  索舟和西摩需要找出符合所謂納許均衡(Nash equilibria)的情況。這類情況以數學家和諾貝爾獎得主納許(John Nash)為名,電影《美麗境界》(A Beautiful Mind)甚至讓非數學家都對他耳熟能詳。如果無論男士或女士都無法單方面改變其策略來獲得任何東西,這種狀態就說處於均衡。納許均衡可以計算出來,不過這類遊戲的參與者當然沒做任何計算。他們發現要導向納許均衡的途徑,要不透過物競天擇的壓力,要不藉由學習過程來達到(例如年輕人適應社會習俗)。一旦參與者達到這樣的均衡,任一方都不會有動機想去改變策略。這種情況是演化穩定(evolutionarily stable)。

  兩位研究者找到五種納許均衡。舉例來說,第五種如下:「男性送廉價禮物給沒有吸引力的女性。他們送昂貴或浮誇的禮物給具吸引力的女性,兩種情況各有一定機率。女性接受所有只來自迷人男性送的禮物。如果後來發現禮物價值不斐,她們會決定交往。」然而,男性最成功的策略是,送可能的伴侶高價但無法變現的禮物。藉由這個禮物,女性收到雙重訊息:第一,追求她的男子財力雄厚;第二,他對她的評價很高。同時,男性可以避開釣凱子的自利女性,因為禮物實際上沒有任何真正的市場價值。

  順帶一提,浮誇禮物不是人類的專利;動物也偏愛這種禮物。舉例來說,當雄孔雀賣力進行炫耀覆有羽毛的尾部,這種毫無效用但會帶來很大壓力的行為時,雌孔雀相當迷戀。然而,談到令人不快,澳洲蚊蝎蛉(Bittacus apicalis)絕對是極其討厭的禮物。雄蟲在交配後會設法偷回牠的禮物,也就是多汁的昆蟲,以便送給另一隻雌蟲。

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